Διαγράμματα Ελέγχου

Για τον σχεδιασμό ενός διαγράμματος ελέγχου, διενεργούνται δειγματοληψίες σε τακτά χρονικά διαστήματα., με τις οποίες μετράμε ένα χαρακτηριστικό της διαδικασίας που μας ενδιαφέρει. Ας υποθέσουμε ότι λαμβάνονται m δείγματα, που αποτελούνται το καθένα από n παρατηρήσεις. Θα ασχοληθούμε αργότερα με τον τρόπο επιλογής των δειγμάτων αυτών. Ένα στατιστικό όπως ο δειγματικός μέσος , η τυπική απόκλιση S ή το δειγματικό εύρος R που εκτιμά κάποια παράμετρο της διαδικασίας, υπολογίζεται από κάθε δείγμα. Με αυτόν τον τρόπο, δημιουργείται μια ακολουθία των τιμών του στατιστικού, οι οποίες απεικονίζονται ως προς το χρόνο σε ένα διάγραμμα. Στο διάγραμμα παρατηρούμε ένα κεντρικό άξονα (CL) ο οποίος αναπαριστά την μέση τιμή και αντιστοιχεί στην κατάσταση ελέγχου. Στον ακριβέστερο προσδιορισμό αυτής της κατάστασης συμβάλλουν δύο ακόμη άξονες οι οποίοι ορίζουν τα ανώτατα (UCL) και κατώτατα (LCL) όρια ελέγχου της διαδικασίας. Υποθέτοντας ότι η διαδικασία είναι ευσταθής, τα όρια ελέγχου είναι όρια πρόβλεψης του αναπαριστώμενου στατιστικού. Συνήθως απέχουν 3 τυπικές αποκλίσεις από τον κεντρικό άξονα.

Όταν το στατιστικό ακολουθεί προσεγγιστικά την κανονική κατανομή, όπως για παράδειγμα συμβαίνει με του μέσους όρους των m υποομάδων του δείγματος, το 99,73% των δυνατών τιμών του κατανέμονται σε μια ζώνη 3 τυπικών αποκλίσεων εκατέρωθεν της κεντρικής γραμμής. Έτσι, τα όρια ελέγχου 3 τυπικών αποκλίσεων αποτελούν ένα 99,73% διάστημα πρόβλεψης των μελλοντικών τιμών του στατιστικού. Η πιθανότητα να πέσει μια τιμή εκτός των ορίων ελέγχου είναι της τάξης του 3/1000 και είναι τόσο ελάχιστη, που αν συμβεί μπορούμε να θεωρήσουμε ότι δεν συνέβη τυχαία αλλά λόγω της παρουσίας μιας ειδικής αιτίας διασποράς. Ακόμη και αν το στατιστικό δεν ακολουθεί την κανονική κατανομή, τα όρια ελέγχου 3 τυπικών αποκλίσεων αποτελούν ένα διάστημα πρόβλεψης, το οποίο καλύπτει ένα μεγάλο ποσοστό των τιμών του.

Διαγράμματα Ελέγχου Μεταβλητών

Πολλά ποιοτικά χαρακτηριστικά μπορούν να εκφραστούν σε αριθμητικά μεγέθη. Για παράδειγμα, το βάρος ενός προϊόντος μπορεί να μετρηθεί με μια ζυγαριά και να εκφρασθεί σε γραμμάρια. Ένα χαρακτηριστικό που είναι μετρήσιμο, όπως το ύψος, το βάρος, η διάμετρος, η ένταση κλπ καλείται μεταβλητή. Όταν έχουμε ένα χαρακτηριστικό το οποίο είναι μεταβλητή, πάγια τακτική είναι ο έλεγχος της μέσης τιμής και της διακύμανσής της. Τα διαγράμματα που χρησιμοποιούνται για τον σκοπό αυτό, είναι το για την μέση τιμή και τα R, S για το εύρος και την τυπική απόκλιση αντίστοιχα. Για αυτά τα διαγράμματα κάνουμε την μη ρεαλιστική υπόθεση ότι γνωρίζουμε τις παραμέτρους της διαδικασίας μ και σ. Στην πράξη αυτές οι παράμετροι δεν είναι γνωστές, αλλά εκτιμώνται από τα δείγματά μας.

Διάγραμμα Χ – bar

Ας υποθέσουμε ότι κατά τη διάρκεια μιας παραγωγικής διαδικασίας, καταγράφουμε τις μετρήσεις m δειγμάτων μεγέθους n ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού που έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και απόκλιση σ. Οι τυπικές τιμές των m και n είναι αντίστοιχα 20 και 5, δηλαδή για να απεικονίσουμε επακριβώς την φυσική μεταβλητότητα που ενυπάρχει σε μια διαδικασία απαιτούνται τουλάχιστον 20 δείγματα μεγέθους 5. Οι δειγματικοί μέσοι των m δειγμάτων, ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση και άρα οι δυνατές τιμές τους βρίσκονται στο διάστημα με πιθανότητα 99,7%. Πιο γενικά λέμε ότι με πιθανότητα (1-α) παίρνουν τιμές στο διάστημα όπου Ζ_a/2 είναι το αντίστοιχο (α/2) ποσοστιαίο σημείο της κανονικής κατανομής.

Επομένως εάν κάνουμε την μη ρεαλιστική υπόθεση ότι ο μέσος μ και η τυπική απόκλιση σ του ποιοτικού χαρακτηριστικού είναι γνωστά, τα διαστήματα αυτά χρησιμοποιούνται σαν το ανώτερο και κατώτερο όριο σε ένα διάγραμμα ελέγχου των δειγματικών μέσων.

R Διάγραμμα

Αντίστοιχα με τα S διαγράμματα, τα R διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της σταθερότητας της τυπικής απόκλισης σε κάποια διαδικασία.

Υποθέτοντας και εδώ ότι η τυπική απόκλιση είναι γνωστή, κατασκευάζουμε τα όρια ελέγχου τριών τυπικών αποκλίσεων. Όταν η κατανομή είναι κανονική, τότε ο μέσος και η τυπική απόκλιση του δειγματικού εύρους R είναι αντίστοιχα τα γινόμενα d₂σ και d₃σ. Οι d₂ και d₃ είναι μεταβλητές που εξαρτώνται μόνο από το μέγεθος του δείγματος n και οι τιμές τους δίνονται σε πίνακες για διάφορες τιμές του n.

Το άνω όριο ελέγχου 3 τυπικών αποκλίσεων είναι το γινόμενο D₂σ, όπου D₂ είναι το άθροισμα του d₂ συν 3 φορές το d₃ και το κάτω όριο ελέγχου είναι το γινόμενο D₁σ με D₁ τη διαφορά του d₂ μείον 3 φορές το d₃.

Συνδυασμός Χ διαγραμμάτων με τα R και S

Στις προηγούμενες ενότητες για την κατασκευή των διαγραμμάτων ελέγχου, υποθέσαμε ότι οι παράμετροι της διαδικασίας μ και σ είναι γνωστές. Στην πραγματικότητα δεν ισχύει κάτι τέτοιο, συνεπώς θα πρέπει να εκτιμηθούν με κάποιο τρόπο.

Έστω m υποομάδες με n μετρήσεις η κάθε μία από αυτές. Για κάθε υποομάδα υπολογίζουμε την δειγματική μέση τιμή του χαρακτηριστικού που μελετάμε, το δειγματικό εύρος του, την δειγματική του διακύμανση και την τυπική του απόκλιση. Για να εκτιμήσουμε το μ από όλα τα δεδομένα μας, χρησιμοποιούμε την μέση τιμή των δειγματικών μέσων. Για να εκτιμήσουμε το σ από ένα απλό κανονικό δείγμα, παρατηρούμε ότι η τυπική απόκλιση έχει αναμενόμενη τιμή c₄σ όπου η σταθερά c₄ δίνεται από πίνακες για διάφορες τιμές του n. Ένας αμερόληπτος εκτιμητής λοιπόν του σ, θα είναι ο S_i/c₄ και ο εκτιμητής του σ για όλα τα δείγματα θα είναι η μέση τιμή των επί μέρους εκτιμητών.

Αρκετές φορές χρησιμοποιούμε το δειγματικό εύρος R για να εκτιμήσουμε το σ. Η μεταβλητή W=R_i/σ καλείται "τυποποιημένο εύρος" και έχει κατανομή η οποία εξαρτάται από το n μόνο. Όταν η διαδικασία έχει κανονική κατανομή, συμβολίζουμε E(W) = d₂ = μ_w και έχουμε ότι η αναμενόμενη τιμή του δειγματικού εύρους θα είναι ίση με d₂σ. Οι τιμές του d₂ δίνονται σε πίνακες για διάφορες τιμές του n. Για μια κανονική διεργασία, η μεταβλητή R_i/d₂ είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του σ. Για να εκτιμήσουμε το σ από όλα τα δείγματα, χρησιμοποιούμε το λόγο του μέσου δειγματικού εύρους προς το d₂.

Για τιμές του n έως 5, η διαφορά μεταξύ των δυο εκτιμητών είναι αμελητέα. Παραδοσιακά για λόγους ευκολίας χρησιμοποιείται ο εκτιμητής του εύρους. Για μεγαλύτερα δείγματα όμως, συνιστάται η χρήση του εκτιμητή της τυπικής απόκλισης, για τον λόγο ότι η μεταβλητότητά του είναι κατά πολύ μικρότερη από αυτή του εκτιμητή του εύρους.